Question

【题目】如图，△ABC的点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°，DC＝．

（1）求圆心O到弦DC的距离；

（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

（1）连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，得到△OCD是等边三角形，求得OD=OC=CD=，解直角三角形即可得到结论；

（2）由（1）得，△ODC是等边三角形，求得∠OCD=60°，根据相似三角形的性质得到∠A=∠BCD=30°，求得∠OCB=90°，于是得到BC是⊙O的切线．

解：（1）连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，

∵∠A＝30°，

∴∠DOC＝60°，

∵OD＝OC，CD＝，

∴△OCD是等边三角形，

∴OD＝OC＝CD＝，

∵OE⊥DC，

∴DE＝，∠DEO＝90°，∠DOE＝30°，

∴OE＝DE＝，

∴圆心O到弦DC的距离为：；

（2）由（1）得，△ODC是等边三角形，

∴∠OCD＝60°，

∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠CDB+∠ADC＝180°，

∴∠ACB＝∠CDB，

∵∠B＝∠B，

∴△ACB∽△CDB，

∴∠A＝∠BCD＝30°，

∴∠OCB＝90°，

∴BC是⊙O的切线．