Question

【题目】如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设此抛物线与直线y=﹣x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线x=m，()与抛物线交于点M，与直线y=﹣x交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣3x+4；(2)存在，在该抛物线的对称轴上存在点Q（﹣1.5，2.5），使得△QAC的周长最小；（3）存在，m=-1.

【解析】

试题分析：（1）A，B的坐标代入抛物线y=+bx+c确定解析式．

（2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q．

（3）四边形BNCM的面积等于△MNB的面积+△MNC的面积．

试题解析：（1）∵抛物线y=+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点，

将A、B两点坐标代入抛物线方程，得，解得，

所以，该抛物线的解析式为：y=﹣3x+4；

（2）存在．理由如下：

∵由前面的计算可以得到，C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=﹣1.5，

∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=1对称，

∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小，

而当点Q在直线BC上时QC+QA最小，

此时直线BC的解析式为y=x+4，

当x=﹣1.5时，y=2.5，

∴在该抛物线的对称轴上存在点Q（﹣1.5，2.5），使得△QAC的周长最小；

（3）由题意，M（m，﹣3m+4），N（m，﹣m），

∴线段MN=﹣3m+4﹣（﹣m）=﹣2m+4=+5，

∵=0.5MN×BO=2MN=+10，

∴当m=﹣1时（在内），四边形BNCM的面积S最大．