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【题目】如图,已知ABCD中,AE平分∠BADDCEDFBCF,交AEG,且ADDF.过点DDC的垂线,分别交AEAB于点MN

1)若MAG中点,且DM2,求DE的长;

2)求证:ABCF+DM

【答案】1DE;(2)证明见解析.

【解析】

1)由ABCD中,AE平分∠BADDCEDFBC,易证得∠DMG=DGM,求得DG=DM=2,由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半,求得AG的长,继而求得DE的长;
2)此题有多种解法,通过构造不同的直角三角形,找到相应的全等三角形,在根据对应边和对应角相等,即可推出结论.

解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBCABCD

∴∠BAE=∠DEA

AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE

∴∠DAE=∠DEA

DEAD

DFBC

DFAD

MAG中点,

AG2DM4

DNCD

∴∠ADM+MDG=∠MDG+EDG

∴∠ADM=∠EDG

∴∠DAE+ADM=∠DEA+EDG

即∠DMG=∠DGM

DGDM2

RtADG中,DEAD

2)证法一:过点AAD的垂线交DN的延长线于点H

在△ADH和△FDC中,

∴△DAH≌△DFCASA),

AHFCDHDC

DFAD

AHDF

∴∠HAM=∠DGM

∵∠AMH=∠DMG,∠DMG=∠DGM

∴∠HAM=∠HMA

AHMH

MHCF

ABCDDHMH+DMCF+DM

证法二:延长MD到点P,使DPCF,连接PE

由(1)知ADDE

ADDF

DFDE

DFC=∠EDP90°

RtDCFRtEPD

DCEP,∠CDF=∠PED

PEDF

∴∠PEA=∠DGA

由(1)得∠DGA=∠DME

∴∠PEA=∠DME

PMPE

PMDM+DPDM+CFPECDAB

ABDM+FC

证法三:过点AAHCB于点H

易证△ABH≌△DCF

从而证得四边形AHFD为正方形.

把△ADG绕点A顺时针旋转90°

得△AHP,∠AHP=∠AHB90°

PHB三点共线

AE平分∠BAD

∴∠1=∠2,而∠2=∠HAP

∴∠HAB+1=∠HAB+HAP,即∠HAG=∠PAB

AHDF

∴∠HAG=∠DGA

而∠DGA=∠APB

∴∠PAB=∠APB

ABPB

PBPH+HBDG+FC

ABDM+FC

证法四:在DC上截取DPDM,连接PF

∵四边形ABCD是平行四边形,

ABCD

∴∠BAE=∠DEA

而∠BAE=∠DAE

∴∠DAE=∠DEADADE

又∠ADF=∠MDE90°

∴∠ADM=∠EDG

∴△ADM≌△EDG

DMDG

DGDP

ADDF

DFDE,而∠PDF=∠FDP

∴△PDF≌△GDE

∴∠DPF=∠DGE,∠DFP=∠DEG

∴∠CPF=∠DGM

∵∠DFP+CFP=∠DEG+DMG90°

∴∠CFP=∠DMG

而∠DMG=∠DGM

∴∠CFP=∠CPFCFCP

CDDP+CPDM+CFABCD

ABDM+CF

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