Question

7．已知抛物线$y=k（x+1）（x-\frac{2}{k}）$与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．若△ABC为等腰三角形，则k的值为$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，2．

Answer 1

分析 根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据等腰三角形的判定分类讨论：当AB=BC时，当AB=AC时，当AC=BC时，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：$y=k（x+1）（x-\frac{2}{k}）$化为一般式，得
y=kx²+（-2+k）x-2，
当y=0时，kx²+（-2+k）x-2=0，
解得x=-1，x=$\frac{2}{k}$，即A（-1，0），B（$\frac{2}{k}$，0），
当x=0时，y=-2，即C（0，-2）．
当AB=BC时，$\sqrt{（\frac{2}{k}）^{2}+（-2）^{2}}$=$\frac{2}{k}$+1，化简，得$\frac{4}{k}$=3，解得k=$\frac{4}{3}$
当AB=AC时，±$\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}$=$\frac{2}{k}$+1，化简，解得k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
当AC=BC时，$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{k}）^{2}+{2}^{2}}$，化简，得$\frac{2}{k}$=-1，或$\frac{2}{k}$=-1，解得k=-2（不符合题意要舍去），或k=2，
故答案为：$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数值与自变量的对应关系，分类讨论是解题关键，以防遗漏．