【题目】已知二次函数(为常数).
若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,求的取值范围;
已知该二次函数的图象与轴交于点和点,与轴交于点,顶点为,若存在点使得与面积相等,求的值.
【答案】(1)且(2)
【解析】
(1)该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,得出c≠0,且二次函数与x轴有两个交点,利用b2-4ac>0,进一步得出答案即可;
(2)代入点A求得函数解析式,进一步利用等底等高三角形的面积相等,得出C、B的直线的函数关系式,D、P的直线的函数关系式,由此得出答案即可.
由题意可得,该二次函数与轴有两个不同的交点,
也就是当时,方程有两个不相等的实数根,
即,所以,.
又因为该二次函数与两个坐标轴有三个不同的交点,所以.
综上,若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点,的取值范围为且.
因为点在该二次函数图象上,可得,.
所以该二次函数的关系式为,可得.
由,可得,.
若点使得与面积相等,
可得点、到的距离相等,此时,.
设过点、的直线的函数关系式为,即解得
设过点、的直线的函数关系式为,即,解得.
即,当时,,即.
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【题目】如图,在中,,,点D为的中点,直角绕点D旋转,,分别与边,交于E,F两点,下列结论:①是等腰直角三角形;②;③;④,其中正确结论是( ).
A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④
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【题目】一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分钟后离开轨道,前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2,后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系,如图,轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分,求:
(1)二次函数和反比例函数的关系式.
(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.
【答案】(1)v=(2<t≤5) (2)8米/分
【解析】分析:(1)由图象可知前一分钟过点(1,2),后三分钟时过点(2,8),分别利用待定系数法可求得函数解析式;
(2)把t=2代入(1)中二次函数解析式即可.
详解:(1)v=at2的图象经过点(1,2),
∴a=2.
∴二次函数的解析式为:v=2t2,(0≤t≤2);
设反比例函数的解析式为v=,
由题意知,图象经过点(2,8),
∴k=16,
∴反比例函数的解析式为v=(2<t≤5);
(2)∵二次函数v=2t2,(0≤t≤2)的图象开口向上,对称轴为y轴,
∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末,为8米/分.
点睛:本题考查了反比例函数和二次函数的应用.解题的关键是从图中得到关键性的信息:自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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【题目】已知为等边三角形,为射线上一点,为射线上一点,.
(1)如图1,当点在的延长线上且时,是的中线吗?请说明理由;
(2)如图2,当点在的延长线上时,写出之间的数量关系,请说明理由;
(3)如图3,当点在线段的延长线上,点在线段上时,请直接写出的数量关系.
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【题目】定义:若某抛物线上有两点A、B关于原点对称,则称该抛物线为“完美抛物线”.已知二次函数y=ax2-2mx+c(a,m,c均为常数且ac≠0)是“完美抛物线”:
(1)试判断ac的符号;
(2)若c=-1,该二次函数图象与y轴交于点C,且S△ABC=1.
①求a的值;
②当该二次函数图象与端点为M(-1,1)、N(3,4)的线段有且只有一个交点时,求m的取值范围.
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【题目】下列说法“①凡正方形都相似;②凡等腰三角形都相似;③凡等腰直角三角形都相似;④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为;⑤两个相似多边形的面积比为,则周长的比为.”中,正确的个数有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,AE=CD,连接AD、BE交于点P.
(1)求证:∠BPD=60°.
(2)连接PC,若CP⊥PB.当AP=3,求BP的长.
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【题目】我们把能被13整除的数称为“自觉数”,已知一个整数,把其个位数字去掉,再从余下的数中加上个位数的4倍如果和是13的倍数,则原数为“自觉数”,如果数字仍然太大不能直接观察出来就重复此过程.如416:41+4×6=65,65÷13=5,所以416是自觉数;又如25281:2528+4×1=2532,253+4×2=261,26+4×1=30,因为30不能被13整除,所以25281不是“自觉数”.
(1)判断27365是否为自觉数 (填“是”或者“否”).
(2)一个四位数n=,规定F(n)=|a+d﹣b×c|,如:F(2019)=|2+9﹣0×1|=11,若四位数n能被65整除,且该四位数的千位数字和十位数字相同,其中1≤a≤4.求出所有满足条件的四位数n中,F(n)的最大值.
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【题目】今年我区的葡萄喜获丰收,葡萄一上市,水果店的王老板用2400元购进一批葡萄,很快售完;老板又用5000元购进第二批葡萄,所购件数是第一批的2倍,但进价比第一批每件多了5元.
(1)第一批葡萄每件进价多少元?
(2)王老板以每件150元的价格销售第二批葡萄,售出80%后,为了尽快售完,决定打折促销,要使第二批葡萄的销售利润不少于640元,剩余的葡萄每件售价最少打几折?(利润=售价-进价)
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