Question

【题目】已知为等边三角形，为射线上一点，为射线上一点，.

（1）如图1，当点在的延长线上且时，是的中线吗？请说明理由；

（2）如图2，当点在的延长线上时，写出之间的数量关系，请说明理由；

（3）如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，请直接写出的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）是的中线，理由详见解析；（2），理由详见解析；（3）.

【解析】

（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．
（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，
（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．

（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∵DA=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠CAD，

∵AB=AC，
∴BD=DC，
∴AD是△ABC的中线．
（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，

∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，
∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E

∴∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,

∴∠AHD=∠DCE，

∴在△AHD和△DCE，

∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD．
（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB=∠DEF，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴∠DEF=∠DAF，
∵DF=DF，AF=EF，
在△AFD和△EFD中，

,

∴△AFD≌△EFD（SSS）
∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB=∠DEF，
∴∠FDB=∠DFB，
∴DB=BF，
∵AB=AF+FB，
∴AB=BD+AE．