Question

【题目】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．

（1）如图1，当a＝时，求b的值；

（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；

（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）b＝8；（3）ab＝32．

【解析】

试题（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝4 ，∠ACB＝45°．

再CE＝a＝4，可得∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；

（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；

（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.

试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝4 ，∠ACB＝45°．

∵CE＝a＝4，∴∠CAE＝∠AEC＝＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝；

（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC＝∠AEC．

又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴，∴，∴CF＝8，即b＝8．

（3）ab＝32．

提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴，∴，∴ab＝32．