【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的切线,垂足为D.
(1)求证:AC平分BAD;
(2)若AC=,CD=2,求⊙O的直径.
【答案】解:(1)如图:连接OC。
∵DC切⊙O于C,∴AD⊥CD。
∴∠ADC=∠OCF=90°。∴AD∥OC。
∴∠DAC=∠OCA。
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA。
∴∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD。
(2)连接BC。
在Rt△ADC中,AC=,CD=2,∴AD=4。
∵AB是直径,∴∠ACB=90°=∠ADC。
∵∠OAC=∠OCA,∴△ADC∽△ACB。
∴,即。
∴AB=5。
【解析】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的性质,角平分线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
(1)连接OC,根据切线的性质判断出AD∥OC,得到∠DAC=∠OCA,再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA,可得AC平分∠BAD。
(2)连接BC,得到△ADC∽△ACB,根据相似三角形的性质即可求出AB的长。
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【题目】已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,CF=b.
(1)如图1,当a=时,求b的值;
(2)当a=4时,在图2中画出相应的图形并求出b的值;
(3)如图3,请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.
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【题目】随着无人机的应用范围日益广泛,无人机已走进寻常百姓家,如图,小明在我市体训基地试飞无人机.为测量无人机飞行的高度AB,小明在C点处测得∠ACB=45°,向前走5米,到达D点处测得∠ADB=40°.求无人机飞行的高度AB.(参考数据:≈1.4,sin40°≈0.6,cos40°≈0.6,tan40°≈0.8.)
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【题目】某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛,分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖.现对三个年级同学的获奖情况进行了统计,其中获得纪念奖有17人,获得三等奖有10人,并制作了如图不完整的统计图.
(1)求三个年级获奖总人数;
(2)请补全扇形统计图的数据;
(3)在获一等奖的同学中,七年级和八年级的人数各占,其余为九年级的同学,现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛,通过列表或者树状图的方法,求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率.
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【题目】在,,.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)观察猜想
如图1,当时,的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 .
(2)类比探究
如图2,当时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.
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【题目】如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:
①∠ACD=30°,②SABCD=ACBC;③OE:AC=:6;④S△OCF=2S△OEF,⑤△OEF∽△BCF成立的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
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【题目】如图所示.在山顶上有一座电视塔AB(AB与水平面垂直),小明同学要测量电视塔AB的高度,在斜坡MN上取一点C,测得塔顶A的仰角为15°,小明沿斜坡MN上行300米到点D,在点D恰好平视电视塔顶A(即AD与水平地面平行),若斜坡MN的坡角为30,山高BM为400米,且N、D、C、M、P、B、A在同一平面内,A、B、M在同一条直线上,请根据以上数据帮助小明求出电视塔AB的高度(结果精确到1米)()
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【题目】为庆祝建国周年,东营市某中学决定举办校园艺术节.学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加.为了了解报名情况,组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查,现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,求“声乐”类对应扇形圆心角的度数;
(4)小东和小颖报名参加“器乐”类比赛,现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器,用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率.
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【题目】如图①,在矩形中,,对角线相交于点,动点由点出发,沿向点运动.设点的运动路程为,的面积为,与的函数关系图象如图②所示,则边的长为( ).
A. 3B. 4C. 5D. 6
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