Question

16．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，∠ABC=α，∠ACD=β，BC=6，BD=8．
①若α=30°，β=60°，AB的长为$2\sqrt{7}$；
②若改变α、β的大小，但α+β=90°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据SAS，可首先证明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度数；
（2）①如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，EC=BD=8，因为BC=6，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；
②过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）如图1，
∵AE=AB，AD=AC，
∵∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△AEC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，
∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°；

（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．
由（1）可知△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∴EC=BD=8，
∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
在Rt△EBC中，EC=8，BC=6，
∴EB=$\sqrt{E{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AB=BE=2$\sqrt{7}$．

②如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，
即∠EAC=∠BAD，
在△EAC与△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD=8．
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{E{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{7}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=3$\sqrt{7}$．
故答案为：$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．