【题目】如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程的两个根是2和4,则方程就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程是“倍根方程”,则c ;
(2)若是“倍根方程”,求代数式的值;
(3)若方程是倍根方程,且不同的两点M(k+1,5),N(3-k,5)都在抛物线上,求一元二次方程的根.
【答案】(1)2;(2)1或;(3),.
【解析】
(1)由一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,得到x1+2x1=3,2x12=c,即可得到结论;
(2)解方程(x-2)(mx+n)=0(m≠0)得x1=2,x2=,由方程两根是2倍关系,得到x2=1或43,代入解方程即可得到结论;
(3)由方程ax2+bx+c=0(a≠0)是倍根方程,得到x1=2x2,由已知条件得到得到抛物线的对称轴x=,可得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
解:(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,则c=2.
故答案为:2;
(2)∵是倍根方程,
则,
∴,
∴
①当时,原式=
②当时,原式=
(3)∵方程是倍根方程,设
∵,都在抛物线上,
,∴由抛物线的对称轴 可知:
又∵∴,即,
∴,
即的两根分别为 .
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【题目】如图,是的角平分线,,分别是和的高,连接交于.下列结论:①垂直平分;②垂直平分;③平分;④当为时,,其中不正确的结论的个数为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题:
写出一个“勾系一元二次方程”;
求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0必有实数根;
若x=1是“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是,求△ABC面积.
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【题目】如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
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【题目】如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC, AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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【题目】一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分別标有数字1、﹣2、3、﹣4,这些卡片除数字外都相同.王兴从口袋中随机抽取一张卡片,钟华从剩余的三张卡片中随机抽取一张,求两张卡片上数字之积.
(1)请你用画树状图或列表的方法,列出两人抽到的数字之积所有可能的结果.
(2)求两人抽到的数字之积为正数的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点B(0,3),点C(4,0)
(1)求线段BC的长.
(2)如图1,点A(﹣1,0),D是线段BC上的一点,若△BAD∽△BCA时,求点D的坐标.
(3)如图2,以BC为边在第一象限内作等边△BCE,求点E的坐标.
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【题目】如图,一次函数的图象与和分别交于点和点,与正比例函数图象交于点.
(1)求和的值
(2)求的面积
(3)在直线上是否存在异与点的另一点,使得与的面积相等?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连接AD.
(1)求证:AD=AN;
(2)若AB=8,ON=1,求⊙O的半径.
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