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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).

(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2 ?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4),

∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4,

∵点B(3,0)在该抛物线的图象上,

∴0=a(3﹣1)2+4,解得a=﹣1,

∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3,

∵点D在y轴上,令x=0可得y=3,

∴D点坐标为(0,3),

∴可设直线BD解析式为y=kx+3,

把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=﹣1,

∴直线BD解析式为y=﹣x+3


(2)

解:设P点横坐标为m(m>0),则P(m,﹣m+3),M(m,﹣m2+2m+3),

∴PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣ 2+

∴当m= 时,PM有最大值


(3)

解:如图,过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H,

设Q(x,﹣x2+2x+3),则G(x,﹣x+3),

∴QG=|﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)|=|﹣x2+3x|,

∵△BOD是等腰直角三角形,

∴∠DBO=45°,

∴∠HGQ=∠BGE=45°,

当△BDQ中BD边上的高为2 时,即QH=HG=2

∴QG= ×2 =4,

∴|﹣x2+3x|=4,

当﹣x2+3x=4时,△=9﹣16<0,方程无实数根,

当﹣x2+3x=﹣4时,解得x=﹣1或x=4,

∴Q(﹣1,0)或(4,﹣5),

综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5)


【解析】(1)可设抛物线解析式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的解析式,则可求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD解析式;(2)设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;(3)过Q作QG∥y轴,交BD于点G,过Q和QH⊥BD于H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得△DHG为等腰直角三角形,则可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标.

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ADBCDEGBC(已知)

∴∠ADC=EGC=90°

EGAD

∴∠E=________ )、

1=__________

又∵∠E=1(已知)

∴∠2=3

AD平分∠BAC (

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淡季

旺季

未入住房间数

10

0

日总收入(元)

24000

40000


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