【题目】抛物线
交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D.
（1）写出抛物线的对称轴及C、D两点的坐标（用含a的代数式表示）
（2）连接BD并以BD为直径作⊙M，当a=-1时，请判断⊙M是否经过点C，并说明理由；
（3）在（2）题的条件下，点P是抛物线上任意一点，过P作直线垂直于对称轴，垂足为Q. 那么是否存在这样的点P，使△PQD与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
【1】 （1）过点C作CH⊥
轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝
由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝
，CH＝3 ∴C点坐标为（，3）
【2】 （2）∵抛物线
（
≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
∴
解得：
∴此抛物线的解析式为：
【3】 （3）存在. 因为的顶点坐标为（，3）即为点C，MP⊥轴，设垂足为N，PN＝
，因为∠BOA＝300，所以ON＝， ∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把
代入得：
∴ M（，
），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即
，解得：
，
（舍）
∴ P点坐标为（
，
）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，） （12分）
【解析】
（1）由抛物线y=ax2+2x+3（a＜0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D，根据二次函数的对称轴方程与顶点坐标的求解方法即可求得对称轴及D点的坐标，又由当x=0时，y=3，求得C点的坐标；
（2）首先求得点B，C，D的坐标，然后根据两点间的距离公式，求得BC，CD，BD的平方的值，即可得CD2+BC2=DB2，由勾股定理的逆定理，可求得∠DCB=90°，又由直径所对的圆周角是直角，可得⊙M是经过点C；
（3）首先求得CD，BC，的长，然后分别从①若点P在对称轴的左侧，且△PQD∽△DCB，②若点P在对称轴的左侧，且△PQD∽△BCD，③若点P在对称轴的右侧，且△PQD∽△DCB，④若点P在对称轴的右侧，且△PQD∽△BCD去分析，根据相似三角形的对应边成比例，求得方程，解方程即可求得答案．
解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+3（a＜0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．
∴对称轴为：x=-
∵当x=0时，y=3，
∴C的坐标为：（0，3），
∵D点的纵坐标为：y=
，
D点的坐标为：（-
，）；…（3分）
（2）⊙M经过点C，
理由：连接BC，
∵a=-1，
∴抛物线为：y=-x2+2x+3，
∴点D（1，4），点B（3，0），点C（0，3），
∴CD2=2，BD2=20，BC2=18，
∴CD2+BC2=DB2，
∴∠DCB=90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD是直径所对的圆周角，
∴⊙M是经过点C；（3分）
（3）存在. 因为的顶点坐标为（，3）即为点C，MP⊥
轴，设垂足为N，PN＝
，因为∠BOA＝300，所以ON＝， ∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把
代入得：
∴ M（，
），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即
，解得：
，
（舍）
∴ P点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，） （12分）
全能测控期末小状元系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．
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【题目】我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．
尝试解决：（1）如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．
（2）如图3，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG=EG．
①求证：PE=DF；
②求AP的长．
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【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AN＝CM．
(1)求证：BN＝DM；
(2)若BC＝3，CD＝2，∠B＝50°，求∠BCD、∠D的度数及四边形ABCD的周长．
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【题目】某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带
（1）请你计算出游泳池的长和宽
（2）若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，请你计算要贴瓷砖的总面积
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【题目】将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边
，设点
表示的数为
，点
表示的数为
，点
表示的数为
，若将向右滚动，则
的值等于_____；数字
对应的点将与的顶点______重合．
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【题目】五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元；购进甲商品2件和乙商品1件共需130元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知在平面直角坐标系中有三点
、
、
，请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点
的位置：
（2）求出以三点为顶点的三角形的面积；
（3）在
轴上是否存在点
，使以
三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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