【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1 上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求点M的坐标.
【答案】(1)y=-x2-2x+3,y=x+3;(2)M(-1,2).
【解析】
试题(1)根据题意得出关于a、b、c的方程组,求得a、b、c的值,即可得出抛物线的解析式,根据抛物线的对称性得出点B的坐标,再设出直线BC的解析式,把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式;
(2)点A关于对称轴的对称点为点B,连接BC,设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小,再求得点M的坐标.
试题解析:(1)依题意得:,
解之得:,
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3,
∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),
∴B(-3,0),
∴把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,
得,
解得:,
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
把x=-1代入直线y=x+3得,y=2
∴M(-1,2).
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2).
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【题目】在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标和纵坐标都是整数的点称为“中国结”.直线与
交于一点.
(1)求直线与
轴的交点坐标;
(2)如图,定点,动点
在直线
上运动.当线段
最短时,求出点
的坐标,并判断点
是否为“中国结”;
(3)当直线与
的交点为“中国结”时,求满足条件的
值.
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【题目】已知如图,△ADC和△BDE均为等腰三角形,∠CAD=∠DBE,AC=AD,BD=BE,连接CE,点G为CE的中点,过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F.
(1)当A,D,B三点在同一直线上时(如图1),求证:G为AF的中点;
(2)将图1中△BDE绕点D旋转到图2位置时,点A,D,G,F在同一直线上,点H在线段AF的延长线上,且EF=EH,连接AB,BH,试判断△ABH的形状,并说明理由.
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【题目】已知:如图1,直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点,点B的横坐标为2.
图1 图2
(1)求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式;
(2)点D是直线AC上方抛物线上任意一点,P为线段AC上一点,且S△PCD=2S△PAD ,求点P的坐标;
(3)如图2,另有一条直线y=-x与直线AC交于点M,N为线段OA上一点,∠AMN=∠AOM.点Q为x轴负半轴上一点,且点Q到直线MN和直线MO的距离相等,求点Q的坐标.
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【题目】某工厂,甲负责加工A型零件,乙负责加工B型零件.已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同,每天甲、乙两人共加工两种零件35个.
(1)求甲、乙每天各加工多少个零件;
(2)根据市场预测估计,加工一个A型零件所获得的利润为35元/件,加工一个B型零件所获得的利润每件比A型少5元,现在需要加工甲、乙两种零件共300个且要求所获得的总利润不低于9850元,求至少应该生产多少个A型零件?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°,设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD,BE与劣弧所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和
)。
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【题目】2002年国际数学家大会在北京召开,大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案.如图,由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形.如果大正方形的面积是25,直角三角形较长的直角边长是a,较短的直角边长是b,且(a+b)2的值为49,那么小正方形的面积是( )
A.2B.0.5C.13D.1
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【题目】如图:在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上,有A、B、C、D、E、F、G七个点,则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )
A.点A、点B、点CB.点A、点D、点G
C.点B、点E、点FD.点B、点G、点E
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【题目】抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C,顶点为D.
(1)写出抛物线的对称轴及C、D两点的坐标(用含a的代数式表示)
(2)连接BD并以BD为直径作⊙M,当a=-1时,请判断⊙M是否经过点C,并说明理由;
(3)在(2)题的条件下,点P是抛物线上任意一点,过P作直线垂直于对称轴,垂足为Q. 那么是否存在这样的点P,使△PQD与以B、C、D为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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