Question

如图，Rt△OAB在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=

1

2

．反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若C（m，2）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PA+PC最小？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知Q点在y轴上运动，请直接写出使△AOQ为等腰三角形的所有Q点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据特殊角的正弦值，可得角的度数，根据正切函数，可得A点的纵坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得C点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得A点关于x轴的对称点，根据待定系数法，可得直线A′C的解析式，根据函数值为零，可得自变量的值；
（3）根据等腰三角形的判定：OQ=OA=2

3

，AQ=AO=OQ=2

3

，可得答案．

解答：解：（1）∵sin∠AOB=

1

2

，
∴∠AOB=30°，
∵∠OBA=90°，OB=3，
∴AB=OB•tan30°=

3

，
∴点A（3，

3

），
∵反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A，
∴

3

=

k

3

，
解得：k=3

3

，
∴反比例函数的解析式为：y=

3 3

x

；
（2）∵C（m，2）是反比例函数y=

3 3

x

（x＞0）的图象上的点，
∴2=

3 3

m

，
解得：m=

3 3

2

，
∴点C（

3 3

2

，2），
如图1：
，
点A关于x轴的对称点为：A′（3，-

3

），
设直线A′C的解析式为：y=ax+b，

3k+b=- 3 3 3 2 k+b=2

，
解得

k=- 14+8 3 3 b=14+7 3

．
直线A′C的解析式为：y=-

14+8 3

3

x+14+7

3

．
当y=0时，-

14+8 3

3

x+14+7

3

=0，
解得x=

42-21 3

2

，
P点坐标是（

42-21 3

2

，0）；
（3）如图2：
，
由OQ=OA=2

3

，得Q₁（0，-2

3

），Q₂（0，2

3

）；
由AQ=AO=OQ=2

3

，得Q（0，2

3

），
综上所述：使△AOQ为等腰三角形的所有Q点坐标为（0，2

3

），（0，-2

3

）．

点评：本题考查了反比例函数综合题，利用了锐角三角函数，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定．