Question

已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD=3，CF=1求线段AB的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF，再利用“HL”证明Rt△ACF与Rt△FDB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAF=∠DFB，然后求出∠AFB=90°，再利用勾股定理列式求出AF，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA=FB，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴△ACF与△FDB是直角三角形．
在Rt△ACF与Rt△FDB中，

AF=BF AC=FD

，
∴Rt△ACF≌Rt△FDB（HL），
∴∠CAF=∠DFB，
∵∠C=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∴∠CFA+∠BFD=90°，
∴∠AFB=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
∵AC=3，CF=1，
∴AF²=AC²+CF²=3²+1²=10，
∴AB=

AF2+BF2

=

10+10

=2

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．