Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点，交AB于点E，点F为AC延长线上一点，且∠BAC=2∠CDF．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）连接DE，求证：DE=DB；

（3）若，CF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7

【解析】

（1）连接AD，OD，根据等腰三角形性质证明∠CDF=∠ADO，证明∠ODF=90°则可得出结论；（2）由（1）得BD=DE=CD，即可证明；（3）证明△AFD∽△DFC，根据等比关系，可求出CD，DF长度，即可求出半径.

（1如图，

连接AD，OD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，

∴AD⊥CD，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，

∵∠BAC=∠CDF，∴∠CDF=∠DAC，

∵OA=OD，∴∠DAC=∠ADO，∴∠CDF=∠ADO，

∵∠ADO+∠ODC=90°，∴∠CDF+∠ODC=90°，

∴∠ODF=90°，∵OD为⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线.

（2）由（1）得，BD=CD，∠EAD=∠CAD,

∴BD=DE=CD，∴DE=DB.

（3）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵cosB=，∴AB=3BD，∴AC=3DC，

设CD=x，则AC=3x，∴AD=AC-CD，

∴AD=2x，

∵∠DAC=∠CDF，∠AFD=∠CFD，

∴△AFD∽△DFC，

∴==，

∴==，

∴DF=4，x=，

∴AC=3x=14，

∴⊙O的半径为7.