Question

3．在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是△ABC的高，
（1）当∠BAC=90°时，如图①，求证：AB+DB=DC．
（2）当∠BAC≠90°时，如图②、③，请直接写出图②和图③中AB、DB、DC的数量关系，不需要证明．
（3）若AD=12，AB=13，则BC=3．

Answer 1

分析 （1）如图1在DC上截DM=DB，则AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，从而得到CD=DM+MC=AB+BD；
（2）如图②在DC上截DM=DB，则AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，从而得到CD=DM+MC=AB+BD；如图③由∠ABC=2∠C，∠ABC=∠C+∠BAC，得到∠BAC=∠C，AB=CB，所以CB=AB，CD=BD+AB；
（3）由勾股定理求得BD=5，再根据（2）中的结论求得BC=3．

解答 （1）如图1证明：在DC上截DM=DB，
∵AD⊥BC，DM=BD，
∴AD是BM的垂直平分线，
∴AB=AM（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠B=∠AMB（等边对等角），
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM=CM，
∴CM=AB，
∴CD=DM+MC=BD+AB．

（2）CD=AB+BD，如图②在DC上截DM=DB，
∵AD⊥BC，DM=BD，
∴AD是BM的垂直平分线，
∴AB=AM（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠B=∠AMB（等边对等角），
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM=CM，
∴CM=AB，
∴CD=DM+MC=BD+AB，
如图③∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠C+∠BAC，
∴∠BAC=∠C，
∴AB=CB，
∴CB=AB，
∴AB=DB+CD；

（3）在R_t△ABD中，
∵AB=13，AD=12，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{-AD}^{2}}$=5，
由（2）知，CD=AB-8，
∴BC=CD-BD=3，
故答案为：3．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理的综合运用．