Question

【题目】如图，E是四边形ABCD的边AB上一点．

（1）猜想论证：如图，分别连接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，试猜想图中哪两个三角形相似，并说明理由．

（2）观察作图：如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中矩形ABCD的边AB上画出所有满足条件的点E（点E与点A，B 不重合），分别连结ED，EC，使四边形ABCD被分成的三个三角形相似（不证明）．

（3）拓展探究：如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）△ADE∽△BEC；（2）见解析；（3）=．

【解析】

试题分析：（1）△ADE∽△BEC，理由为：利用三角形内角和定理及邻补角定义得到一对角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

（2）如图②a与图②b所示，点E为所求的点；

（3）由点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到三个角相等，再由折叠的性质得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用锐角三角函数定义求出所求式子比值即可．

解：（1）△ADE∽△BEC，理由为：

∵∠A=65°，

∴∠ADE+∠DEA=115°，

∵∠DEC=65°，

∴∠BEC+∠DEA=115°，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC；

（2）作图如下：

（3）∵点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，

∴DC=CE=AB，

在Rt△BCE中，cos∠BCE==cos30°，

∴=．