Question

16．a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．如：3的差倒数是$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，已知a₁=2，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，…依此类推，
（1）分别求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）计算a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析 （1）根据差倒数的定义进行计算即可得解；
（2）根据计算可知，每三个数为一个循环组循环，求出每一个循环组的三个数的和，再用2013除以3求出正好有671个循环组，然后求解即可．

解答 解：（1）∵a₁=2，
∴a₂=$\frac{1}{1-2}$-1，a₃=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2；
（2）由以上计算可以看出2，-1，$\frac{1}{2}$三个数字不断循环出现；
∵a₁+a₂+a₃=2-1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，2013÷3=671，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃
=671×$\frac{3}{2}$
=$\frac{2013}{2}$．

点评 本题是对数字变化规律的考查，读懂题意，理解“差倒数”的定义，得到每三个数为一个循环组循环非常关键．