【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、
轴分别交于点
,
,将点
绕坐标原点
顺时针旋转
得点
,解答下列问题:
(1)求出点的坐标,并判断点
是否在直线l上;
(2)若点在x轴上,坐标平面内是否存在点
,使得以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出
点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),点
在直线l上,见解析;(2)存在,点
坐标为:
,
或
,
或
或
.
【解析】
(1)依题意作出点,过C点作CH⊥OA,旋转性质可得
,由30°直角三角形性质可求出HC=
,OH=3,即可得出C点坐标,将C点坐标代入解析式验证,符合解析式即可判定C在直线l上.
即可求解;
(2)分是菱形的一条边、
是菱形的一条对角线两种情况,分别根据点平移的规律求解即可.
解:(1)设将点绕坐标原点
顺时针旋转
得点
,
直线,令
,则
,令
,则
,
则点、
的坐标分别为
、
,
,
则,
,
∵,OC=OB=
,
∴,
过C点作CH⊥OA,
∴HC=,OH=3
点C的坐标为;
∵当x=3时,=
.
∴点的坐标
在直线l上.
(2)存在,理由:
点、
的坐标分别为
、
,则
,以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形如图所示,
①当是菱形的一条边时,当点
在x轴上方,
当菱形为时,则
,则点
,
;
当菱形为时,点
,
;
当点在x轴下方,
同理可得:点;
②当是菱形的对角线时,
设点,点
,
则的中点即为
的中点,且
(即
,
,
,
,
解得:,
,
,
故点;
综上,点坐标为:
,
或
,
或
或
.
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【题目】如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)在BC上截取CF=CO,连接OF,若AC=16,BD=12,求四边形OFCD的面积.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为3cm,点P从点A出发沿AB→BC→CD以3cm/s的速度向终点D匀速运动,同时,点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动,设P点运动的时间为ts,△APQ的面积为Scm2,下列选项中能表示S与t之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,点D是⊙O直径CA的延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若点E是劣弧BC上一点,弦AE与BC相交于点F,且CF=9,cos∠BFA=,求EF的长.
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【题目】如图,在中,
,
轴,垂足为
.反比例函数
的图象经过点
,交
于点
.已知
,
.
(1)若,求k的值;
(2)连接,若
,求
的长.
(3)连接,若
是钝角,求k的取值范围.
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【题目】定义:对于给定的一次函数y=ax+b(a≠0),把形如的函数称为一次函数y=ax+b(a≠0)的衍生函数.已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,0),B(1,2),C(-3,2),D(-3,0).
(1)已知函数y=2x+l.
①若点P(-1,m)在这个一次函数的衍生函数图像上,则m= .
②这个一次函数的衍生函数图像与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 .
(2)当函数y=kx-3(k>0)的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时,k的取值范围是 .
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【题目】我们知道,对于一个图形通过不同的方法计算图形的面积,可以得到一个数学等式,例如由图 1 可以得到 (a 2b)(a b) a 3ab 2b
,请解答下列问题:
(1)写出图 2 所表示的数学等式: ;
(2)已知 a b c 12 ,ab bc ac 40 ,利用(1)中所得结论.求ab
c
的值;
(3)图 3 中给出了若干个边长为 a 和边长为 b 的小正方形纸片、若干个长为 b 宽为 a 的长方 形纸片,选用这些纸片拼出一个图形,使得它的面积是 2a 7ab 3b
.画出该图形,并利用该图形把多项式 2a
7ab 3b
分解因式.
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【题目】一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示,通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA, OB,OC组成。为记录寻宝者的行进路线,在BC的中点M处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图像大致如图②所示,则寻宝者的行进路线可能为:
A. A→O→B B. B→A→C C. B→O→C D. C→B→O
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