Question

5．我们知道$\sqrt{2}$≈1.414，于是我们说：“$\sqrt{2}$的整数部分为1，小数部分则可记为$\sqrt{2}$-1”．则：
（1）$\sqrt{2}$-3的整数部分为-1，小数部分则可记为$\sqrt{2}$-2；
（2）已知3+$\sqrt{31}$的小数部分为a，7-$\sqrt{31}$的小数部分为b，那么a+b的值是1；
（3）已知x是$\sqrt{10}$的整数部分，y是$\sqrt{10}$的小数部分，求${（y-\sqrt{10}）^{x-1}}$的平方根．

Answer 1

分析 （1）先估算出$\sqrt{2}$-3的取值范围，进而可得出结论；
（2）估算出3+$\sqrt{31}$与7-$\sqrt{31}$的取值范围，故可得出a与b的值，代入代数式进行计算即可；
（3）先估算出$\sqrt{10}$的取值范围，故可得出x、y的值，代入代数式进行计算即可．

解答 解：（1）∵1＜2＜4，
∴1＜$\sqrt{2}$＜3，
∴1-3＜$\sqrt{2}$-3＜0，即-2＜$\sqrt{2}$-3＜0，
∴$\sqrt{2}$-3的整数部分是-1，小数部分是$\sqrt{2}$-2．
故答案为：-1，$\sqrt{2}$-2；

（2）∵25＜31＜36，
∵5＜$\sqrt{31}$＜6，
∴8＜3+$\sqrt{31}$＜9，
∴3+$\sqrt{31}$的小数部分是$\sqrt{31}$-5，即a=$\sqrt{31}$-5；
同理，∵25＜31＜36，
∵-6＜-$\sqrt{31}$＜-5，
∴1＜7-$\sqrt{31}$＜2
∴7-$\sqrt{31}$的小数部分为7-$\sqrt{31}$-1=6-$\sqrt{31}$，即b=6-$\sqrt{31}$，
∴a+b=$\sqrt{31}$-5+6-$\sqrt{31}$=1．
故答案为：1；

（3）∵9＜10＜16，
∴3＜$\sqrt{10}$＜4，
∴$\sqrt{10}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{10}$-3，即a=3，y=$\sqrt{10}$-3，
∴${（y-\sqrt{10}）^{x-1}}$=（$\sqrt{10}$-3-$\sqrt{10}$）^3-1=（-3）²=9，
∵±$\sqrt{9}$=±3，
∴${（y-\sqrt{10}）^{x-1}}$的平方根是±3．

点评 本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．