Question

如图，点D是半径为R的⊙O上一点．
（1）若∠A=∠C=30°，求证：直线CD与⊙O相切；
（2）已知直线CD与⊙O相切，下列条件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=

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R．其中能得出BC=R的是哪几个？并给出你认为能得出的第一个（按编号顺序）的说理过程．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD；由∠A=∠C=30°，证出∠ODC=90°，即可证明直线CD与⊙O相切；
（2）由AD=CD，OA=OD，得出∠A=∠C=∠ODA，再由CD是⊙O的切线，得出∠ODC=90°，即可证出∠C=30°，得出BC=OD=R．

解答：解：（1）连接OD；如图所示：
∵∠A=∠C=30°，
∴∠ADC=120°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，
∴∠ODC=120°-30°=90°，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）能得出BC=R的是①②③④；
∵AD=CD，OA=OD，
∴∠A=∠C，∠A=∠ODA，
∴∠A=∠C=∠ODA，
∴∠DOC=∠A+∠ODA=2∠C，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OC=2OD，
∴BC=OD=R．

点评：本题考查了切线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．