Question

在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=3，BC=6，AB=m（m＞3），ED⊥CD且交AB于点E，
（1）试判断△DCE与△ADE，△DCE与△BCE是否相似？
（2）如果相似，请证明；如果不相似，请指出m为何值时，它们才能相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,直角梯形

专题：

分析：（1）由题意可得：△DCE与△ADE相似；△DCE与△BCE不一定相似．
（2）首先延长CD，BA交于点F，易得DE垂直平分CF，即可得∠AED=∠CED，即可证得△DCE与△ADE相似；
由题意可得当∠DCE=∠BCE时，△DCE∽△BCE，可得△BCE∽△ADE，则可得∠BCE=∠ADE=∠DCE=30°，继而求得答案．

解答：解：（1）△DCE与△ADE相似；△DCE与△BCE不一定相似．

（2）①延长CD，BA交于点F，
∵AD∥BC，AD=3，BC=6，
∴△ADF∽△BCF，
∴DF：CF=AD：BC=1：2，
∴DF=CF，
∵ED⊥CD，
∴EF=EC，
∴∠AED=∠CED，
∵∠EAD=∠EDC=90°，
∴△DCE∽△ADE；
②∵DE与BC不平行，
∴∠DEC≠∠BCE，
∵∠B=∠EDC=90°，
∴当∠DCE=∠BCE时，△DCE∽△BCE，
∴△BCE∽△ADE，
∴DE：EC=AD：BC=1：2，
∴∠DCE=30°，
∴∠BCE=∠ADE=∠DCE=30°，
∴AE=AD•tan30°=

3

，BE=BC•tan30°=2

3

，
∴m=AB=AE+BE=3

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．