Question

【题目】如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x(秒)，△PBQ的面只为y(cm2).

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（2）求△PBQ的面积的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ = PBBQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，

∴y= x（18﹣2x），

即y= +9x（0＜x≤4）

（2）解：由（1）知，y= +9x（0＜x≤4），

∴y= ，

∵当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，

而0＜x≤4，

∴当x=4时， =20，

即△PBQ的最大面积是20

【解析】（1）抓住已知条件中的两点的运动方向：P在边AB上沿AB方向，Q在边BC上沿BC方向。先用含x的代数式表示出PB、BQ的长，根据三角形的面积公式，可求出函数解析式及自变量的取值范围。
（2）根据（1）中的函数解析式，求出其顶点坐标，由二次函数的性质得出当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，再根据0＜x≤4，可得出△PBQ的面积的最大值。
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小，以及对二次函数的最值的理解，了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．