Question

如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）探究：线段AD、AB、CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作EF⊥AD于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，就可以得出EF=EB，由∠B=90°就可以得出结论；
（2）先由△DEC≌△DEF得出EC=EF，再由△AEB≌△AEF就可以得出AB=AF进而就可以得出AD=AB+CD．

解答：解：（1）作EF⊥AD于F，
∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB⊥AB，CB⊥CD．
∵DE平分∠ADC．
∴∠EDC=∠EDF，CE=CF．
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴BE=EF．
在Rt△AEB和Rt△AEF中，

AE=AE EB=EF

，
∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），
∴∠EAB=∠EAF，
∴AE是∠DAB的平分线；
（2）在△DEC和△DEF中，

∠EDC=∠EDF ∠C=∠DFE DE=DE

，
∴△DEC≌△DEF（AAS），
∴CD=FD．EC=EF．
∴在Rt△AEB和Rt△AEF中，

AE=AE EB=EF

，
∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），
∴AB=AF．
∵AD=AF+DF，
∴AD=AB+CD．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，线段中点的定义的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．