Question

已知：∥∥∥，平行线与、与、与之间的距离分别为₁、₂、₃，且₁ =₃ = 1，₂ = 2 . 我们把四个顶点分别在、、、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.

 【探究1】 ⑴ 如图1，正方形为“格线四边形”，于点,的反向延长线交直线于点.  求正方形的边长.

 【探究2】 ⑵ 矩形为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形的宽为_____. (直接写出结果即可)

 【探究3】 ⑶ 如图2，菱形为“格线四边形”且∠=60°，△是等边三角形，                  于点， ∠=90°，直线分别交直线、于点、.   求证：.

 【拓 展】  ⑷ 如图3，∥，等边三角形的顶点、分别落在直线、上，于点，                  且=4 ，∠=90°，直线分别交直线、于点、，点、分别是线段、上的动点，且始终保持=，于点.

              猜想：在什么范围内，∥？并说明此时∥的理由.

 

                   

Answer 1

解析：(1) 如图1， ∵BE⊥l ,  l ∥k  ,

                   ∴∠AEB=∠BFC=90°, 

                         又四边形ABCD是正方形，

                   ∴∠1+∠2=90°，AB=BC,                                    ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,

                   ∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),

                   ∴AE=BF=1 , ∵BE=d₁+d₂=3 ,   ∴AB= ,

                         ∴正方形的边长是 .

      (2)如图2,3，⊿ABE∽⊿BCF,

                  ∴ 或 

                          

                        ∵BF=d₃=1 ,

                  ∴AE= 或

                  ∴AB= 或

                    AB=

                         ∴矩形ABCD的宽为或.                       (注意：要分2种情况讨论）

      (3)如图4，连接AC，

                ∵四边形ABCD是菱形，

                ∴AD=DC,

                又∠ADC=60°,

    ∴⊿ADC是等边三角形，

∴AD=AC，

                ∵AE⊥k , ∠AFD=90°,  ∴∠AEC=∠AFD=90°，

                ∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=AE,

                ∴⊿AFD≌⊿AEC(HL),   ∴EC=DF.

      (4)如图5，当2＜DH＜4时， BC∥DE .

                 理由如下： 

                 连接AM,

                 ∵AB⊥k  , ∠ACD=90°,

                 ∴∠ABE=∠ACD=90°,

                 ∵⊿ABC是等边三角形，

∴AB=AC ,

                 已知AE=AD,  ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD；

                 在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，

                   ，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),

                 ∴ BM=CM ；

                 ∴ME=MD,

                 ∴ ,  ∴ED∥BC.