Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=

3

，P为△ABC中内一点，AP=1，M、N分别为AB、AC边上的两动点，则△PMN周长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：设点P关于AC的对称点为K，关于AB的对称点为J，当点M、N在KJ上时，△PMN的周长最小．

解答：解：分别作点P关于AC的对称点为K，关于AB的对称点为J，连接KJ，分别交AC、AB于点M、N，连接AP、AK、AJ、PM、PN．
∵点P关于AC的对称点为K，关于AB的对称点为J，
∴PM=KM，AP=AK，∠KAC=∠PAC；
∵点P关于AB的对称点为J，
∴PN=JN，AP=AJ，∠JAB=∠PAB，
∴AK=AJ=AP=1，∠KAJ=∠KAC+∠PAC+∠PAB+∠JAB=2∠PAC+2∠PAB=2∠BAC=60°，
∴△KAJ是等边三角形，
∴KJ=AK=AJ=1．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=KM+MN+JN≥KJ=1．
故答案为1．

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题以及等边三角形的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．