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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧),且与y轴正半轴交于点C,已知A(2,0)
(1)当B(﹣4,0)时,求抛物线的解析式;
(2)O为坐标原点,抛物线的顶点为P,当tan∠OAP=3时,求此抛物线的解析式;
(3)O为坐标原点,以A为圆心OA长为半径画⊙A,以C为圆心, OC长为半径画圆⊙C,当⊙A与⊙C外切时,求此抛物线的解析式.

【答案】
(1)解:把点A(2,0)、B(﹣4,0)的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得,

∴b=﹣1.c=8,

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8


(2)解:如图1,

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H,把点A(2,0)的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得,

﹣4+4b+c=0①,

∵抛物线的顶点为P,

∴y=﹣x2+2bx+c=﹣(x﹣b)2+b2+c,

∴P(b,b2+c),

∴PH=b2+c,AH=2﹣b,

在Rt△PHA中,tan∠OAP=

=3②,

联立①②得,

(不符合题意,舍)或

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8


(3)解:∵如图2,

抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C,

∴C(0,c)(c>0),

OC= c,

∵A(2,0),

∴OA=2,

∴AC=

∵⊙A与⊙C外切,

∴AC= c+2=

∴c=0(舍)或c=

把点A(2,0)的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得,﹣4+4b+c=0,

∴b=

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+


【解析】(1)利用待定系数法即可确定出函数解析式;(2)用tan∠OAP=3建立一个b,c的关系,再结合点A得出的等式即可求出b,c进而得出函数关系式;(3)用两圆外切,半径之和等于AC建立方程结合点A代入建立的方程即可得出抛物线解析式.

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