【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧),且与y轴正半轴交于点C,已知A(2,0)
(1)当B(﹣4,0)时,求抛物线的解析式;
(2)O为坐标原点,抛物线的顶点为P,当tan∠OAP=3时,求此抛物线的解析式;
(3)O为坐标原点,以A为圆心OA长为半径画⊙A,以C为圆心, OC长为半径画圆⊙C,当⊙A与⊙C外切时,求此抛物线的解析式.
【答案】
(1)解:把点A(2,0)、B(﹣4,0)的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得, ,
∴b=﹣1.c=8,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8
(2)解:如图1,
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H,把点A(2,0)的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得,
﹣4+4b+c=0①,
∵抛物线的顶点为P,
∴y=﹣x2+2bx+c=﹣(x﹣b)2+b2+c,
∴P(b,b2+c),
∴PH=b2+c,AH=2﹣b,
在Rt△PHA中,tan∠OAP= ,
∴ =3②,
联立①②得, ,
∴ (不符合题意,舍)或 ,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8
(3)解:∵如图2,
抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C,
∴C(0,c)(c>0),
∴ OC= c,
∵A(2,0),
∴OA=2,
∴AC= ,
∵⊙A与⊙C外切,
∴AC= c+2= ,
∴c=0(舍)或c= ,
把点A(2,0)的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得,﹣4+4b+c=0,
∴b= ,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+ .
【解析】(1)利用待定系数法即可确定出函数解析式;(2)用tan∠OAP=3建立一个b,c的关系,再结合点A得出的等式即可求出b,c进而得出函数关系式;(3)用两圆外切,半径之和等于AC建立方程结合点A代入建立的方程即可得出抛物线解析式.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC与BC相交于O , E为AB的中点,F为DE的中点,G为CF的中点, OH⊥DE于H , 过A作AI⊥DE于I , 交BD于J , 交BC于K , 连接BI .
下列结论:①G到AC的距离等于 ;②OH= ;③BK= AK;④∠BIJ=45°.其中正确的结论是
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
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【题目】如图,点A(a,1)、B(﹣1,b)都在双曲线y=﹣ 上,点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是( )
A.y=x
B.y=x+1
C.y=x+2
D.y=x+3
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【题目】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,若将矩形对角线BD对折,使B点与D点重合,四边形EBFD是菱形吗?请说明理由,并求这个菱形的边长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A(m,4).
(1)求m、n的值;
(2)设一次函数的图象与x轴交于点B,求△AOB的面积;
(3)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为( )
A.1
B.
C.
D.
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【题目】一次函数的图象经过点A(2,1)和点B(0,2).
(1)求出函数的关系式;
(2)在平面置角坐标系内画一次函数的图象,回答下列问题:
①y的值随着x的值的增大而 ,它的图象与x轴的交点坐标是 .
②下列点在一次函数图象上的是 ;
(1,),(﹣2,3),(6,﹣5)
③当x ,时,y>0.
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【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,(点A在点B的左侧),与直线AC交于点C(2,3),直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D,连接BD.
(1)求抛物线的函数表达式,并求出点D的坐标;
(2)如图2,若点M、N同时从点D出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动,连接MN,将△DMN沿MN翻折,得到△D′MN,判断四边形DMD′N的形状,并说明理由,当运动时间t为何值时,点D′恰好落在x轴上?
(3)在平面内,是否存在点P(异于A点),使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似(全等除外)?若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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