Question

已知：如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC．
（1）求证：∠ABE=∠C；
（2）若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=6，AC=10，求DC的长；
（3）若BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，且FD∥BC交AC于点D，连接FC，则△DFC是什么三角形？为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：（1）根据∠AEB=∠EBC+∠C、∠ABC=∠EBC+∠ABE和∠AEB=∠ABC，即可求得∠ABE=∠C；
（2）易证∠ADF=∠ABF和∠ADF=∠ABF，即可证明△BAF≌△DAF，可得AD=AB，即可解题；
（3）过点F分别作FH⊥AB，FN⊥BC，FM⊥AC，连接FC，易证FH=FN，和FH=FM，可得FM=FN，即可求得∠MCF=∠NCF，再根据∠DFC=∠BCF，即可求证△DFC是等腰三角形．

解答：（1）证明：∵∠AEB=∠ABC，
且∠AEB=∠EBC+∠C，∠ABC=∠EBC+∠ABE，
∴∠EBC+∠C=∠EBC+∠ABE，
∴∠ABE=∠C；
（2）解：∵∠BAE的平分线AF交BE于F，
∴∠BAF=∠DAF，
∵FD∥BC交AC于D，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ABE=∠C，
∴∠ADF=∠ABE，即∠ADF=∠ABF，
在△BAF和△DAF中，

∠ADF=∠ABF ∠BAF=∠DAF AF=AF

，
∴△BAF≌△DAF（AAS），
∴AD=AB=6，
∴DC=AC-AD=10-6=4．
（3）解：△DFC是等腰三角形．
理由：过点F分别作FH⊥AB，FN⊥BC，FM⊥AC，连接FC，

∵BF平分∠ABC，
∴FH=FN，
∵AF平分∠BAC，
∴FH=FM，
∴FM=FN，
∴∠MCF=∠NCF，
∵FD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DFC=∠MCF，
∴DF=DC，
∴△DFC是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAF≌△DAF是解题的关键．