Question

3．点A、B、C是⊙O上三点，AC是⊙O的内接正六边形的一边，AB是⊙O的内接正十二边形的一边，BC是⊙O的内接正n边形的一边，则n=12或4．

Answer 1

分析 连接OA、OC、OB．分两种情况：①求出∠BOC°=30°，得出n=$\frac{360°}{30°}$=12；②求出∠BOC=90°，得出n=$\frac{360°}{90°}$=4；即可得出结果．

解答 解：连接OA、OC、OB．分两种情况：
①如图1所示：
∵AC是内接正六边形的一边，
∴∠AOC=$\frac{360°}{6}$=60°；
∵AB是内接正十二边形的一边，
∴∠AOB=$\frac{360°}{12}$=30°．
∴∠BOC=60°-30°=30°，
∴n=$\frac{360°}{30°}$=12；
②如图2所示：
∴∠BOC=60°+30°=90°，
∴n=$\frac{360°}{90°}$=4；
综上所述：n=12或4．
故答案为：12或4．

点评 本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十二边形、正方形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键，注意分类讨论．