Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAE是△ABC的一个外角．
（1）用尺规作图方法，按要求作图：
①作△ABC的高AD；
②作∠CAE的平分线AM；（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）判断（1）中的AM与BC的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据过直线外一点做已知直线垂线的方法作高AD；根据角平分线的作法作∠CAE的平分线AM；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，根据角平分线的性质可得∠CAM=$\frac{1}{2}$∠CAE，然后可得∠MAD的度数，再根据同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得结论．

解答 解：（1）如图：
①AD为所作的△ABC的高；
②射线AM为所作的∠CAE的平分线．

（2）AM∥BC．
证明如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵AM是∠CAE的平分线，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠CAE，
∴∠CAD+∠CAM=$\frac{1}{2}$∠EAB=90°，
∴AD⊥AM，
∴AM∥BC．

点评 此题主要考查了复杂作图，以及平行线的判定，关键是掌握角平分线和过直线外一点做已知直线垂线的作图方法．