Question

【题目】阅读下列两则材料，回答问题：

材料一：因为所以我们将与称为一対“有理化因式”，有时我们可以通过构造“有理化因式”求值

例如：已知，求的值

解：，∵

材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），所以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝，所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离；

（1）利用材料一，解关于x的方程：，其中x≤2；

（2）利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣2；（2）y＝x+5（﹣3≤x≤1）．

【解析】

（1）根据材料一类比计算的值，利用换元法解方程，可得结论；

（2）把根式下的式子转化成平方+平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式．

解：（1），

，

；

设，

则，解得：，

∴，

∵x≤2，

解得：x＝﹣2；

（2），

，

，

所以可将看作点（x，y）到点（1，6）的距离；

可将看作点（x，y）到点（﹣3，2）的距离；

∴当代数式取最小值，

即点（x，y）与点（1，6），（﹣3，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，6）、（﹣3，2）的中间，

∴的最小值=，且﹣3≤x≤1，

设过（x，y），（1，6），（﹣3，2）的直线解析式为：y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴y＝x+5（﹣3≤x≤1）．