【题目】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,点的坐标是,为抛物线上的一个动点,过点作轴于点,交直线于点,抛物线的对称轴是直线.
(1)求抛物线的函数表达式和直线的解析式;
(2)若点在第二象限内,且,求的面积;
(3)在(2)的条件下,若为直线上一点,是否存在点,使为等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);;(2);(3)
【解析】
(1)点A(2,0)、点B(-4,0),则函数的表达式为:y=a(x-2)(x+4),即可求解;把坐标代入,求出即可得出答案;
(2)PE=OD,则PE=(x2+x-2-x+2)=(-x),求得:点D(-5,0),利用S△PBE=PE×BD=(x2+x-2-x+2)(-4-x),即可求解;
(3)分三种情况求解即可:①当BD=BM时,②当BD=DM时,③当BM=DM时.
(1)经过,对称轴,
设解析式为,
,
∴﹣8a=﹣2
=
设直线,经过
..
(2)设,则
或.(舍)
=
=
=
(3)∵直线,
∴设M(m,)
∵B(-4,0),D(-5,0),M(m,)
∴
当BD=BM时,即
∴
∴
∴或
当BM=DM时,
∴
∴
∴
当BD=DM时,
∴
∴ 或(舍去)
∴
故答案为:,,
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【题目】综合与实践
问题情境:
小明将两个全等的和重叠在一起,其中,,. 固定△DEF不动,将△ABC沿直线ED向左平移,当B与D重合时停止移动.
猜想证明:
(1)如图1,在平移过程中,当点D为AB中点时,连接DC,CF,BF,请你猜想四边形CDBF的形状,并证明你的结论;
(2)如图2,在平移过程中,连接DC,CF,FB,四边形CDBF的形状在不断地变化,判断它的面积变化情况,并求出其面积;
探索发现:
(3)在平移过程中,四边形CDBF有什么共同特征?(写出两个即可)________,________;
(4)请你提出一个与△ABC平移过程有关的新的数学问题(不必证明和解答).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2;以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3;以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;…按此做法进行下去,其中的长___________.
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【题目】抛物线经过点,且对称轴为直线,其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论:①;②;③;④若,则时的函数值小于时的函数值其中正确结论的个数是( )
A.B.C.D.
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【题目】某服装店计划购进一批甲、乙两种款式的运动服进行销售,进价和售价如下表所示:
运动服款式 | 甲 | 乙 |
进价(元/套) | 80 | 100 |
售价(元/套) | 120 | 160 |
若购进两种款式的运动服共300套,且投入资金不超过26800元.
(1) 该服装店应购进甲款运动服至少多少套?
(2)若服装店购进甲款运动服的进价每套降低a元,并保持这两款运动服的售价不变,且最多购进240套甲款运动服.如果这批运动服售出后,服装店刚好获利18480元,求a的取值范围.
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【题目】观察下列等式,探究发现规律,并解决问题,
①;
②;
③;
(1)直接写出第④个等式: ;
(2)猜想第个等式(用含字母的式子表示),并说明这个等式的正确性;
(3)利用发现的规律,求的值.(参考数据:)
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【题目】如图,抛物线与坐标轴的交点为,,,抛物线的顶点为.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若为第二象限内一点,且四边形为平行四边形,求直线的解析式.
(3)为抛物线上一动点,当的面积是的面积的3倍时,求点的坐标.
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【题目】已知在中,.是的弦,交于点,且为的中点,延长交于点,连接.
(Ⅰ)如图①,若,求的大小;
(Ⅱ)如图②,过点作的切线,交的延长线于点.若,求的大小.
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