Question

【题目】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．

（1）求k的值；

（2）设直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，求证：△PMN是等腰三角形；

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P，B之间的动点（与点P，B不重合），连接AQ，BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=4；（2）△PMN是等腰三角形；（3）∠PAQ=∠PBQ，理由见解析.

【解析】

（1）由题意将点B的横坐标代入一次函数中解得对应的y的值可得点B的坐标，把所得点B的坐标代入中即可解得k的值；

（2）如图2，过点P作PH⊥x轴于H，由k的值得到反比例函数的解析式，由所得反比例函数的解析式和一次函数的解析式可求得点A、B的坐标，这样设点P的坐标为，由此解得直线PA、PB的解析式，即可求得用含m的代数式表达的点M和N的坐标，从而可求得用m的代数式表达的MH和NH的长度，得到MH=NH，即可得到PH是线段MN的垂直平分线，从而可得PM=PN，由此即可得到△PMN是等腰三角形；

（3）如图3，设QA和x轴相交于点C，QB和x轴相交于点D，则和（2）同理可得QC=QD，由此可得∠QCD=∠QDC，由（2）中所得的PM=PN可得∠PMN=∠PNM，这样结合对顶角相等和三角形外角的性质即可证得∠PAQ=∠PBQ.

（1）把x=4代入，可得y=1，

∴到点B的坐标为（4，1），

把点B（4，1）代入，得k=4；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．

由（1）可知反比例函数解析式为：，

由 解得： ， ，

∴点A的坐标为（-4，-1），点B的坐标为（4，1），

∵点P在的图象上，

设P的坐标为：，直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，

把点A、B、P的坐标代入所设解析式可得： 和 ，

由此解得：直线PA的解析式为，直线PB的解析式为，

由此可得：M的坐标为（m-4，0），N的坐标为（m+4，0），

∴H（m，0），

∴MH=m-（m-4）=4，NH=m+4-m=4，

∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ．理由如下：

如图3，设QA和x轴相交于点C，QB和x轴相交于点D，则和（2）同理可得QC=QD，

∴∠QCD=∠QDC，

又∵∠QCD=∠MCA，

∴∠MCA=∠QDC，

∵由（2）可知PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

又∵∠PMN=∠PAQ+∠MCA，∠PNM=∠QDC+∠DBN，

∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠DBN，

又∵∠DBN=∠PBQ，

∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠PBQ，

∴∠PAQ=∠PBQ.