Question

【题目】在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接．

（1）如图1，当点落在线段的延长线上时，直接写出的度数；

（2）如图2，当点落在线段（不含边界）上时，与于点，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠ADE＝30°，理由详见解析；（2）（1）中的结论成立，证明详见解析；（3）

【解析】

（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据相似三角形的性质得到AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；

（2）同（1）的证明方法相同；

（3）证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到AF＝，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．

解：（1）∠ADE＝30．

理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120，∴∠ABC＝∠ACB＝30，

∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，

∴∠DAE＝∠BAC＝120，

∴∠ADE＝30；

（2）（1）中的结论成立，

证明：∵∠BAC＝120，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝30．

∵∠ACM＝∠ACB，

∴∠B＝∠ACM＝30．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE．

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120．即∠DAE＝120．

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝30；

（3）∵AB＝AC，AB＝6，

∴AC＝6，

∵∠ADE＝∠ACB＝30且∠DAF＝∠CAD，

∴△ADF∽△ACD．

∴．

∴AD2＝AFAC．

∴AD2＝6AF．

∴．

∴当AD最短时，AF最短、CF最长．

当AD⊥BC时，AD最短，故AF最短、CF最长，此时．

∴．

∴．