Question

【题目】如图为抛物线的部分图象，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），下列结论：

①4ac＜b2

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中正确的结论是____．

Answer 1

【答案】①②⑤

【解析】

利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断，根据抛物线的性质判断⑤即可．

解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以②正确；
∵x==1，即b=-2a，
而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，所以③错误；
由图象知，当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，所以⑤正确；
即正确的个数是3个，
故答案为：①②⑤