作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上.并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动.直角的一边始终经过点B.另一边与射线DC相交于点Q.设A.P两点间的距离为x．探究: (1)当点Q在边CD上时.线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论, (2)当点Q在边CD上时.设四边形PBCQ的面积为y.求y与x之间的函数关系式.并写出x的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A、P两点间的距离为x．

探究：

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由．21·世纪*教育网

(1) 证明：过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1），∴NP＝NC＝MB．

∵∠BPQ＝90°∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°∴∠QPN＝∠PBM．

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB．………………… 2分

(2)由(1)知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．

设AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x ，………………… 3分

∴CQ＝CD－DQ＝1－2×x＝1－x

∴S_△PBC＝BC•BM＝×1×(1－x)＝－x，

S_△PCQ＝CQ•PN＝×(1－x)(1－x)＝－x＋x²，

∴S_{四边形PBCQ}＝S_△PBC＋S_△PCQ＝x²－x＋1， …………………………… 4分

即y＝x²－x＋1（0≤x＜）． …………………………… 5分2·1·c·n·j·y

(3)△PCQ可能成为等腰三角形．

①当点Q在边DC上，由PQ²＝CQ²得：(1－ x)²＋(x)²＝(1－x)²

解得x₁＝0，x₂＝(舍去)；

②当点Q在边DC的延长线上（如图2），由PC＝CQ得：－x＝x－1，

解得x＝1．

③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．

综上所述，x＝0或1时，△PCQ为等腰三角形．…………………………… 8分（每种情况1分）

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