Question

【题目】如图，现有一张边长为的正方形ABCD，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H，折痕为 EF，连接 BP，BH.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；

（4）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）周长固定，周长为.（4）

【解析】

（1）根据折叠的性质，对应边相等，即能解决问题.（2）根据折叠的性质和问题（1）的结论即能解决问题.（3）通过证明过B点向PG作垂线，垂足为Q，通过分别证明 和，将△PDH的周长问题转化成两固定边长之和，即能解决问题，

（1）证明：∵四边形EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠

∴EP = EB

∴∠EPB = ∠EBP

（2）证明∵四边形EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠，PG与BC重叠

∴∠EPG = ∠EBC

又∵∠EPB = ∠EBP

∴∠EPG - ∠EPB = ∠EBC - ∠EBP，即

∠BPH = ∠PBC

∵ AD∥BC,

∴∠APB = ∠PBC,

∴∠APB = ∠BPH

（3）解：△PDH的周长不发生变化.

如图所示，过点B作BQ丄PG于点Q.

在△BPA和△BPQ中，

∵，

∴

∴

∴

，

∵

∴

∴QH=HC

∴△PDH的周长为：

为固定值，固定不变.

如图，过点F作FM垂直AB于点M.

∵

∴

在△ABP和△MFE中

∵

∴

∴

在△AEP中，根据勾股定理，可得：

解得：

∴ ，即

即S关于x的关系式为：