Question

【题目】在中，以线段为边作，使得，连接，再以为边作，使得，．

（）如图1，连结，求证：．

（）如图2，时，将线段沿着射线的方向平移，得到线段，连接，．

①若，依题意补全图2，求线段的长．

②请直接写出线段的长（用含的式子表示）．

Answer 1

【答案】（）证明见解析；（）①，②

【解析】

（1）欲证明AE=BC，只要证明△ADE≌△BDC即可；

（2）①连接AE，BC于O，由△ADE≌△BDC．推出AE=BC=4，推出∠AED=∠DCB，推出四边形BFEC为平行四边形．推出AE=EF=4，∠AEF=90°，Rt△AEF中，根据AF=，计算即可；

②作EM⊥AF于M，设AE交BC于O，DE交BC于K．由①可知△ADE≌△BDC，四边形BCEF是平行四边形，推出∠DCK=∠KEO，由∠DKC=∠EKO，推出∠EOK=∠CDK=α，由BC∥EF，推出∠AEF=∠EOK=α，在Rt△EFM中，FM=EFsin，可得AF=2FM=8sin．

（）∵，

∴，

则，

在和中，

，

∴≌

∴．

（）①连接，设交于，

由（）≌，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵且，

∴，

在中，，

∴，

②连，设交于，过作于，

由（）得：≌，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∵且，

∴，

∴．