Question

4．已知，如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，AD=CE，CD与BE交于F，DG⊥BE，求证：
（1）∠ACD=∠CBE；
（2）DF=2GF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质求出AC=BC，∠A=∠ACB=60°，根据SAS推出△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）由（1）得出∠ACD=∠CBE，根据三角形外角性质求出∠DFG=∠ACB=60°，根据含30°角的直角三角形性质得出即可．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠ECB=60°}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=∠CBE；

（2）∵∠ACD=∠CBE，
∴∠DFG=∠CBE+∠DCB
=∠ACD+∠DCB
=∠ACB
=60°，
∵DG⊥BE，
∴∠DGF=90°，
∴DF=2GF．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30°角直角三角形性质，三角形外角性质的应用，能求出△ACD≌△CBE是解此题的关键．