Question

10．如图，在平面直角坐标系中二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点．连接BC，P是线段BC上方抛物线上的一点，过点P作PM∥y轴，交x轴于点M，交BC于点N，设点P的横坐标是m．
（1）直接写出二次函数及BC所在直线的表达式；
（2）①用含m的代数式表示PN的长度；
②若以O、C、N、P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）连接PB、PC，求△PBC面积最大时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、B点的坐标代入二次函数表达式中得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出二次函数的表达式，再令x=0找出点C的坐标，由待定系数法即可求出直线BC的表达式；
（2）①令x=m，分别求出P、N点的纵坐标，二者相减即可得出结论；
②结合平行四边形的性质可得出OC=PN，解关于m的一元二次方程即可得出m值，代入y_P中即可得出点P的坐标；
（3）连接OP，利用分割法结合三角形的面积公式，即可得出△PBC面积S_△PBC关于m的二次函数，由二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入到y=ax²+bx+2中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+2}\\{0=16a+4b+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴二次函数的表达式为y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2．
令x=0，则y=2，
即点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的表达式为y=kx+2，
则有0=4k+2，解得：k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线BC的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
（2）①当x=m时，y_P=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2，y_N=-$\frac{1}{2}$m+2，
PN=y_P-y_N=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m（0＜m＜4）．
②∵点C的坐标为（0，2），
∴OC=2．
又∵OC∥PN，且以O、C、N、P为顶点的四边形是平行四边形，
∴OC=PN，即-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m=2，
解得：m=2．
此时y_P=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2+2=3．
∴当以O、C、N、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（2，3）．
（3）连接OP，如图所示．

M点的坐标为（m，0），P点坐标为（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2），
∴PM=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2，OM=m．
S_△PBC=S_△OCP+S_△OBP-S_△OBC，
=$\frac{1}{2}$OC•OM+$\frac{1}{2}$OB•PM-$\frac{1}{2}$OC•OB，
=$\frac{1}{2}$×2m+$\frac{1}{2}$×4•（-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2）-$\frac{1}{2}$×2×4，
=-m²+4m，
=-（m-2）²+4．
∴当m=2时，△PBC面积最大，此时点P的坐标为（2，3）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、三角形的面积公式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据平行四边形的性质找出关于m的一元二次方程；（3）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出S关于m的关系式，结合二次函数的性质解决最值问题是关键．