Question

如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠CPB的值是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：网格型

分析：如图，连接AE，交CD于点F，可先证得△APC∽△BPD，可得到CP：DP=1：3，且可得CF=DF=AF，可知FP：DF=1：2，在Rt△AFP中可求得cos∠APF，且∠CPB=∠APF，可得出答案．

解答：解：如图，连接AE，交CD于点F，
∵AC∥BD，且BD=3AC，
∴

CP

DP

=

AC

BD

=

1

3

，
又∵四边形ACED为正方形，
∴AE⊥CD，DF=CF，
∴

PF

DF

=

1

2

，
∴

PF

AF

=

1

2

，
在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x，由勾股定理可求得AP=

5

x，
∴

PF

AP

=

x

5 x

=

5

5

，
∴cos∠APF=

5

5

，
又∵∠CPB=∠APF，
∴cos∠CPB=

5

5

．
故答案为：

5

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．