Question

如图所示的△ABC是从工厂中大量存放的铁板余料，小明测得∠C=90°，∠A的平分线分对边BC所得的两条线段分别为BD=5，DC=3，现要最大限度地利用这块余料截出一个圆形铁板．
（1）使用直尺和圆规确定圆形铁板的圆心O；
（2）求圆O的最大半径．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：应用题

分析：（1）根据内心的定义作∠ACB的角平分线，两角平分线的交点即为圆形铁板的圆心O；
（2）先根据角平分线定理得

AB

AC

=

BD

CD

=

5

3

，设AB=5a，则AC=3a，根据勾股定理得BC=4a，则4a=8，解得a=2，所以AB=10，AC=6，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为

a+b-c

2

求△ABC的内切圆的半径．

解答：解：（1）作∠ACB的角平分线交BD于点O，则点O为铁板的内切圆的圆心，如图；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴

AB

AC

=

BD

CD

=

5

3

，
设AB=5a，则AC=3a，
在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=4a，
而BC=BD+CD=8，
∴4a=8，解得a=2，
∴AB=10，AC=6，
∴△ABC的内切圆的半径=

6+8-10

2

=2，
即圆O的最大半径为2．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了勾股定理的逆定理．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为

a+b-c

2

．