Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．
（1）求证：∠CBE=∠A；
（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．

Answer 1

【答案】证明：（1）如图，连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，

∴∠A=∠M，∠MCB=90°，
∴∠M+∠MBC=90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠CBE+∠MBC=90°，
∴∠CBE=∠M，
∴∠CBE=∠A；
（2）解：过点C作CN⊥DE于点N，
∴∠CNF=90°，
由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，
∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，
在Rt△BCM中，
∵BM=5，tanM=2，
∴，
在Rt△CNB中，
∵,，
∴CN=4，BN=2，
∵BF=2，
∴FN=BF+BN=4，
在Rt△FNC中，
∵FN=4，CN=4，
∴．
【解析】（1）连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，根据圆周角定理求出∠A=∠M，∠MCB=90°，求出∠M+∠MBC=90°，根据切线性质求出∠CBE+∠MBC=90°，推出∠CBE=∠M即可；
（2）过点C作CN⊥DE于点N，求出∠CNF=90°，求出tanM=tan∠CBE=tanA=2，解直角三角形求出BC、CN、BN，求出FN，根据勾股定理求出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．