Question

已知抛物线y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴交于C，且AB=6．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使△MBN被直线BC分成面积1：3的两部分，求出M坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）本题要先依据根与系数的关系表示出x₁+x₂、x₁•x₂的值，然后依据AB=6，即x₂-x₁=6来求出m的值，进而得出A、B两点的坐标．然后根据A、B、C的坐标用待定系数法求出抛物线和执行BC的解析式；
（2）如果设MN与直线BC相交于E，本题要分两种情况进行讨论：①S_△MEB：S_△ENB=1：3；②S_△MEB：S_△ENB=3：1．可先根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后依据上面的分析的两种情况分别可得出一个关于E点坐标的方程，经过解方程即可得出E点的坐标．

解答：解：（1）由题意得：x₁+x₂=

m-5

m

，x₁•x₂=

-5

m

，x₂-x₁=6
则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，（

m-5

m

）²+

20

m

=36
解得：m₁=1，m₂=-

5

7

．
经检验m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x-5
或：由mx²-（m-5）x-5=0得，x=1或x=-

5

m

∵m＞0，
∴1-

-5

m

=6，
∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+4x-5
由x²+4x-5=0得x₁=-5，x₂=1
∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

b=-5 k+b=0

∴

b=-5 k=5

∴直线BC的解析式为y=5x-5；

（2）如图，设MN交直线BC于点E，点M的坐标为（t，t²+4t-5），则点E的坐标为（t，5t-5）．
若S_△MEB：S_△ENB=1：3，则ME：EN=1：3．
∴EN：MN=3：4，
∴t²+4t-5=

4

3

（5t-5）．
解得t₁=1（不合题意舍去），t₂=

5

3

，
∴M（

5

3

，

40

9

）．
若S_△MEB：S_△ENB=3：1，则ME：EN=3：1．
∴EN：MN=1：4，
∴t²+4t-5=4（5t-5）．
解得t₃=1（不合题意舍去），t₄=15，
∴M（15，280）．
∴存在点M，点M的坐标为（

5

3

，

40

9

）或（15，280）．

点评：本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、一元二次方程根与系数的关系、图形的面积的求法等知识点，主要考查了学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．