Question

5．如图，线段AB的长为l．
（1）线段AB上的点C满足关系式AC²=BC•AB，求线段AC的长度；
（2）线段AC上的点D满足关系式AD²=CD•AC，求线段AD的长度；
（3）线段AD上的点E满足关系式AE²=DE•AD，求线段AE的长度．

Answer 1

分析 （1）设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，x²=1×（1-x），整理得x²+x-1=0，然后解方程即可；
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，则x²=l×（l-x），然后解方程；
（3）与（2）的解法一样．

解答 解：（1）设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，
∵AC²=BC•AB，
∴x²=1×（1-x），
整理得x²+x-1=0，
解得${x}_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，${x}_{2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍去），
所以线段AC的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，
∵AD²=CD•AC，
∴x²=l×（l-x），
∴${x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴线段AD的长度$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC；
（3）同理得到线段AE的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AD．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．