【题目】已知:如图,AB为⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于D,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:DE为⊙O的切线.
(2)求证:DF2=BFAF.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)连AD,OD,则∠ADB=∠ADC=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得:EA=ED,∠EDA=∠EAD,由等腰三角形的性质得:∠ODA=∠OAD,证得∠EDO=∠EAO,即可得出结论;
(2)证明:由切线的性质得:∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°,证出∠FDB=∠FAD,∠F为公共角,得出△FDB∽△FAD,由对应边成比例即可得出结论.
(1)证明:连AD,OD,如图所示:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵E是AC的中点,
∴EA=ED,
∴∠EDA=∠EAD,
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠EDO=∠EAO,
∵AB⊥AC,
∴∠EAO=90°,
∴∠EDO=90°,
∴DE为⊙O的切线;
(2)证明:∵DE为⊙O的切线,
∴∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠FDB=∠FAD,
又∵∠F为公共角,
∴△FDB∽△FAD,
∴=,
∴DF2=BFAF.
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【题目】汽车刹车后,还会继续向前滑行一段距离,这段距离称为“刹车距离”刹车距离y(m)与刹车时的车速x(km/h)的部分关系如表:
刹车时的车速 | 0 | 50 | 100 | 200 |
刹车距离 | 0 | 5.5 | 46.5 | 82 |
(1)求出y与x之间的函数关系式.
(2)一辆车在限速120km/h的高速公路上行驶时出了事故,事后测得它的刹车距离为40.6m,问:该车在发生事故时是否超速行驶?
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【题目】某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式;
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
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【题目】某品牌的洗衣机在市场上享有美誉,市场标价为元,进价为元,市场调研发现,若在市场价格的基础上降价会引起销售量的增加,当销售价格为元时,月销售量为台;当销售价格为元时,月销售量为台.若月销售量(台)与销售价格(元)满足一次函数关系.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)公司决定采取降价促销,迅速占领市场的方案,请根据以上信息,判断当销售价格定为多少元时,公司的月利润最大,并求出的最大值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C'处,连接C'D交AB于点E,连接BC',当△BC'D是直角三角形时,DE的长为_________.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(﹣6,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为_____.
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【题目】西宁教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”.规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业,为了解各学校的落实情况,从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表.针对以下六个项目(每人只能选一项):.课外阅读;.家务劳动;.体育锻炼;.学科学习;.社会实践;.其他项目进行调查.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)此次抽查的样本容量为____________,请补全条形统计图;
(2)全市约有4万名在校初中学生,试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人?
(3)七年级(1)班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动.请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少?并列举出所有等可能的结果.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为1,G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.
(1)求证:①△BCG≌△DCE;②BH⊥DE.
(2)当点G运动到什么位置时,BH垂直平分DE?请说明理由.
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【题目】某茶叶经销商以每千克18元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售, 已知加工过程中质量损耗了40%, 该商户对该茶叶试销期间, 销售单价不低于成本单价,且每千克获利不得高于成本单价的60%,经试销发现,每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)符合一次函数,且x=35时,y=45;x=42时,y=38.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若该商户每天获得利润(不计加工费用)为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价每千克定为多少元时,商户每天可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商户每天获得利润不低于225元,试确定销售单价x的范围.
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