Question

【题目】在边长为6的正方形ABCD中，点E是射线BC上的动点（不与B，C重合），连结AE，将△ABE沿AE向右翻折得△AFE，连结CF和DF，若△DFC为等腰三角形，则BE的长为_____．

Answer 1

【答案】2或12+6或12﹣6

【解析】

分三种情形画出图形 分别求解即可．

如图，①点F在以A为圆心AB为半径的圆上，满足条件的点F在线段CD的垂直平分线KF上．

作FH⊥AD于H．在Rt△AFH中，∵AF＝2FH，

∴∠FAH＝30°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠BAF＝60°，

∴∠EAB＝∠EAF＝30°，

在Rt△ABE中，BE＝ABtan30°＝2，

②当DF′＝DC时，在BE′上取一点G，使得AG＝GE′．

∵AF′＝AD＝DF′，

∴△ADF′是等边三角形，

∴∠DAF′＝60°，

∴∠BAF′＝150°，

∴∠BE′F′＝30°，

∴∠BE′A＝15°，

∵GA＝GE′，

∴∠GAE′＝∠GE′A＝15°，

∴∠AGB＝30°，

∴AG＝GE′＝2AB＝12，BG＝6，

∴BE′＝12+6

若以点D为圆心，DC长为半径作圆与以点A为圆心，AB长为半径的圆在正方形的内的交点为F

同理可得BE＝12﹣6

综上所述，BE的长为2或12+6或12﹣6