【题目】如图,以点为圆心,为半径作优弧,连接,,且,在弧上任意取点(点在点的顺时针方向)且使,以为边向弧内作正三角形.
(1)发现:不论点在弧上什么位置,点与点的距离不变,点与点的距离是_____;点到直线的最大距离是_______.
(2)思考:当点在直线上时,求点到的距离,在备用图1中画出示意图,并写出计算过程.
(3)探究:当与垂直或平行时,直接写出点到的距离.
【答案】(1),;(2);画出示意图见解析;(3)
【解析】
(1)根据垂直平分线的判定可证得CO垂直平分AB,再利用勾股定理分别求得OG、CG的长,进而可得OC长,如图2,当CO⊥EF时,点到直线的距离最大,利用60的正弦值可求得OH的长,进而求得EF的最大值;
(2)先画出示意图,然后先证∽,由相似三角形的性质可求得点到的距离;
(3)分别画出⊥及∥时的示意图,然后利用特殊角的三角函数值可求得点到的距离.
(1)解:如图1,连接OA、OB、OC,延长OC交AB于点G,
在正△ABC中,AB=BC=AC=2
∵OA=OB,AC=BC,
∴OC垂直平分AB,
∴AG=AB=1,
∴在Rt△AGC中,CG=,
在Rt△AGO中,OG=,
∴OC=OE-CE=,
如图2,延长CO交EF于点H,
当CO⊥EF时,点到直线的距离最大,最大距离为CH的长,
∵OE=OF,CO⊥EF,
∴CO平分∠EOF,
∵
∴,
在Rt△EOH中,cos∠EOH=,
∴cos60°=,
∴OH=,
∴CH=CO+OH=
∴点到直线的最大距离是.
(2)如备用图1,当点在直线时,
由可知,
点都在线段的垂直平分线上,
过点作的垂线垂足为,
则为中点,直线过点.
由
可得∽,
,
,
(3)如图3,当BC⊥OE时,设垂足为点M,
∵∠EOF=120°,
∴∠COM=180°-120°=60°,
在Rt△COM中,sin∠COM=,
∴sin60°=,
∴
如图4,当BC∥OE时,过点C作CN⊥OE,垂足为点N,
∵BC∥OE ,
∴∠CON=∠GCB=30°,
在Rt△CON中,sin∠CON=,
∴sin30°=,
∴,
综上所述,当与垂直或平行时,点到的距离为或.
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【题目】孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时,给同学们提出了一个问题:“如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子,它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论,各抒己见,其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答.小芳认为6的可能性最大,小超认为7的可能性最大.你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明.(骰子:六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体.)
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【题目】如图1,将抛物线y=ax2(a<0)平移到顶点M恰好落在直线y=x+3上,且抛物线过直线与y轴的交点A,设此时抛物线顶点的横坐标为m(m>0).
(1)用含m的代数式表示a;
(2)如图2,Rt△CBT与抛物线交于C、D、T三点,∠B=90,BC∥x轴,CD=2,BD=t,BT=2t,△TDC的面积为4
①求抛物线方程;
②如图3,P为抛物线AM段上任一点,Q(0,4),连结QP并延长交线段AM于N,求的最大值.
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【题目】如图,一次函数的图象与轴交于点,与反比例函数的图象在第一象限交于点,过点作轴上点,的面积为.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求证:是等腰三角形.
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【题目】能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数,世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》,共勾股数的公式为:,其中是互质的奇数.
(1)当时,求这个三角形的面积;
(2)当时,计算三角形的周长(用含的代数式表示),并直接写出符合条件的三角形的周长值.
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【题目】如图所示,有两条公路OM、ON相交成30°角,沿公路OM方向离O点160m处有一所学校A,当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时,在以P为圆心,100m为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响.且卡车P与学校A的距离越近,噪声影响越大.若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为15km/h.
(1)求对学校A的噪声影响最大时,卡车P与学校A的距离;
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.
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【题目】2019年5月9日,美国政府宣布自2019年5月10日起,对中国进口的亿美元清单商品加征的关税税率由提高到.为了解我校师生对此事的关注度,学生张明采取随机抽样的方法进行问卷调查,绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题: 我校师生对“加征关税税率”了解情况条形统计围我校师生对“加征关税税率”了解情况扇形统计围
本次调查的人数有 人, 在扇形统计图中,的值是 ;请将条形统计图补充完整.
在被调查的教师中,有男女共名教师愿意接受深入调查,现要从这名教师中随机抽取名教
师进行深入调查,请画树状图或者列表求出所抽取的名教师恰好是名男教师和名女教师的概率.
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【题目】已知:如图,MN为⊙O的直径,ME是⊙O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分∠DMN.
求证:(1)DE是⊙O的切线;
(2)ME2=MDMN.
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【题目】房山某中学改革学生的学习模式,变“老师要学生学习”为“学生自主学习”,培养了学生自主学习的能力.小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学,根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图.请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题:
(1)这次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)补全两幅统计图;
(3)根据抽样调查的结果,估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”?
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