如图.在平面直角坐标系中.抛物线与x轴交于A.B两点.直线y=kx+k与抛物线y=x2+bx+c交于B.C两点.C点坐标为．(1)求B点坐标和抛物线的解析式,(2)点F是抛物线上一动点.点F的横坐标为x.-3≤x≤$\frac{1}{2}$.当△FBC存在时.求出△FBC的最大面积,(3)把线段BC绕点C逆时针旋转60°.点B的对应点为点D.点E为线段BD的中点．点P.点Q分别在线段CB和线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，直线y=kx+k（k≠0）与抛物线y=x²+bx+c交于B、C两点，C点坐标为（-4，3）．
（1）求B点坐标和抛物线的解析式；
（2）点F是抛物线上一动点，点F的横坐标为x，-3≤x≤$\frac{1}{2}$，当△FBC存在时，求出△FBC的最大面积；
（3）把线段BC绕点C逆时针旋转60°，点B的对应点为点D，点E为线段BD的中点．点P、点Q分别在线段CB和线段CD上，P点从点C出发，沿线段BC方向以每秒一个单位的速度向点B运动，同时点Q从点D出发，沿线段CD方向以每秒2个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ、PE、QE，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠BPQ，同时QE平分∠PQD？若存在，求出t的值以及P点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先求出直线y=kx+k的解析式，再求出B点坐标，然后根B、C两点坐标求出抛物线解析式；
（2）分两种情形①当F在直线BC上方时，②当点F在直线BC下方时，分别求出S_△FBC的最大值，由此即可解决问题．
（3）PE平分∠BPQ，QE平分∠PQD，则∠PEQ=60°，根据“一线三等角”相似模型，可得出△PBE∽△EDQ，根据相似比例关系列出方程，求解即可；

解答解：（1）∵直线y=kx+k过点C（-4，3），
∴3=-4k+k，
∴k=-1，
∴y=-x-1，
令y=0，则x=-1，
∴B（-1，0），
将B（-1，0）、（-4，3）代入抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16-4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；

（2）①当F在直线BC上方时，如图1，作FD⊥BC于D，FE⊥x轴交直线BC于F，

由直线y=-x-1可知∠ABC=45°，
∴∠DEF=45°，
设P（x，x²+4x+3），
∴E（x，-x-1），
∴EF=（x²+4x+3）-（-x-1）=x²+5x+4，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x²+5x+4），
∵B（-1，0）、C（-4，3），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3 $\sqrt{2}$，
∴S_△FBC=$\frac{1}{2}$×3 $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x²+5x+4）=$\frac{3}{2}$（x²+5x+4），
∵-3≤x≤$\frac{1}{2}$，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，△FBC的面积最大，最大面积=$\frac{81}{8}$；
②当点F在直线BC下方时，如图2中，作FD⊥BC于D，FE⊥x轴交直线BC于F，

由直线y=-x-1可知∠ABC=45°，
∴∠DEF=45°，
设P（x，x²+4x+3），
∴E（x，-x-1），
∴EF=（-x-1）-（x²+4x+3）=-x²-5x-4，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-x²-5x-4），
∵B（-1，0）、C（-4，3），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3 $\sqrt{2}$，
∴S_△FBC=$\frac{1}{2}$×3 $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-x²-5x-4）=-$\frac{3}{2}$（x²+5x+4）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{5}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴x=-$\frac{3}{2}$时，△FBC的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$．
综上所述，△FBC的面积最大值为$\frac{81}{8}$．

（3）如图3，

∵BC=DC，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB=∠CBD=60°，
∵PE平分∠BPQ，同时QE平分∠PQD，
∴∠QPE=∠BPE，∠PQE=∠DQE，
∵∠PEQ=90°-$\frac{1}{2}$∠PCQ=90°-$\frac{1}{2}$×60°=60°，
∵∠PQE=∠DQE，∠PEQ=∠CDB=60°，∠QPE=∠BPE，∠PEQ=∠CBD=60°，
∴△DQE∽△EQP∽△BEP，
∴$\frac{DQ}{BE}$=$\frac{DE}{PB}$，
∵BC=3 $\sqrt{2}$，CP=t，DQ=2t，
∴BP=3 $\sqrt{2}$-t，
∴$\frac{2t}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}-t}$，
整理得，4t²-12 $\sqrt{2}$t+9=0．
∴t=$\frac{3\sqrt{2}±3}{2}$，
∵当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，
∴t=$\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$，
∴PB=$\frac{3\sqrt{2}+3}{2}$，
∴P（$\frac{10+3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$）．

点评本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的最值，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，（3）证得△PBE∽△EDQ是解题的关键．

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（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）若点P在对称轴右侧的抛物线上，且点P的横坐标为t，求△PBC的面积S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S_△PBC=6时，点M在抛物线上，BM交线段PE于N，若AN平分∠BNE，求满足条件的点M的坐标．

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3．把下列各数填在相应的集合里
+7，$-\frac{3}{5}$，-10，0，0.674，-4，$3\frac{3}{4}$，-9.08，400%，-|-12|
负分数集{$-\frac{3}{5}$，-9.08 }
正整数集{+7，400%}
整数集 {+7，-10，0，-4，-400%，-|-12| }
自然数集{+7，0，400% }
负整数集{-10，-4，-|-12| }
非负数集{+7，0，0.674，$3\frac{3}{4}$，400% }．

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